사다리타기는 “누가 커피 살래?”를 정할 때 가장 많이 쓰는 방법입니다. 그런데 종이에 대충 그린 사다리가 정말 모두에게 공평할까요? 직접 시뮬레이션을 20만 번씩 돌려 확인해 봤더니, 가로줄이 적은 사다리는 꽤 불공평했습니다.
- 가로줄이 적으면 출발한 줄 바로 아래 근처에 도착할 확률이 높음
- 5명 사다리에 가로줄 3개면 내 자리 바로 아래 도착 확률이 약 55%
- 가로줄이 50개 정도는 되어야 거의 20%씩 공평해짐
사다리타기는 왜 치우칠까
사다리에서 가로줄 하나는 옆 줄과 자리를 한 번 바꾸는 역할을 합니다. 가로줄을 만날 때마다 한 칸씩만 옆으로 움직이기 때문에, 가로줄이 몇 개 없으면 멀리 갈 기회 자체가 적습니다. 그래서 맨 왼쪽에서 출발한 사람이 맨 오른쪽 결과에 도착하려면 가로줄을 적어도 (사람 수 − 1)번은 순서대로 만나야 합니다.
20만 번 시뮬레이션 결과
5명이 하는 사다리에서, 가로줄을 무작위 위치에 k개 그리고 맨 왼쪽(1번)에서 출발했을 때 각 칸에 도착하는 비율입니다. 완전히 공평하다면 모두 20%여야 합니다.
| 가로줄 수 | 1번 칸 | 2번 칸 | 3번 칸 | 4번 칸 | 5번 칸 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3개 | 54.8% | 32.7% | 10.9% | 1.6% | 0.0% |
| 6개 | 41.8% | 31.5% | 17.4% | 7.0% | 2.2% |
| 10개 | 33.6% | 28.1% | 19.5% | 11.7% | 7.1% |
| 20개 | 24.8% | 23.2% | 19.9% | 17.0% | 15.2% |
| 50개 | 20.3% | 20.2% | 20.0% | 19.7% | 19.7% |
가로줄 3개짜리 사다리에서 1번 자리를 고른 사람은 5번 결과에 절대 갈 수 없습니다. 가로줄이 10개여도 1번 칸과 5번 칸의 확률이 4배 넘게 차이 납니다. 사람이 손으로 그리면 보통 가로줄을 10개 안팎으로 긋기 때문에, 결과 위치를 알고 자리를 고르면 유리해질 수 있다는 뜻입니다.
공평한 사다리를 만드는 법
- 결과를 가린 뒤 섞으세요. 사다리를 다 그린 다음 아래 결과(당첨·꽝)를 접어 가리고, 다른 사람이 결과 순서를 정하게 합니다. 결과 위치를 아무도 모르면 출발 자리를 고르는 이점이 사라집니다.
- 가로줄을 충분히 그으세요. 사람 수의 10배 정도 가로줄을 그으면 거의 공평해집니다.
- 출발 자리는 나중에 정하세요. 사다리를 다 그린 뒤 자리를 고르면 그린 사람이 유리해지지 않습니다.
한그릇 뽑기 사다리타기는 어떻게 하나
사다리타기 도구는 사다리 모양과 상관없이, 결과(당첨·꽝, 직접 입력한 벌칙)의 순서를 브라우저의 암호학적 난수로 먼저 고르게 섞은 뒤 사다리를 그립니다. 그래서 어느 자리를 골라도 각 결과에 도착할 확률이 정확히 같습니다. 사다리는 결과를 보여 주는 연출이고, 공정함은 섞는 단계에서 정해집니다.
사다리 말고 다른 방법이 필요하다면, 항목이 많을 때는 룰렛 돌리기, 한 명만 뽑을 때는 제비뽑기가 더 빠릅니다.
자주 묻는 질문
사다리타기에서 두 사람이 같은 결과에 도착할 수 있나요?
없습니다. 가로줄은 늘 두 줄의 자리를 맞바꾸기만 하므로, 몇 개를 그어도 출발한 사람과 도착하는 결과는 1대1로 짝지어집니다.
이 시뮬레이션은 어떻게 했나요?
5개의 세로줄 사이 4칸 중 한 곳을 무작위로 골라 가로줄을 위에서부터 차례로 긋고, 1번 줄에서 출발해 도착 칸을 기록하는 일을 가로줄 수마다 20만 번씩 반복했습니다. 실제 손그림 사다리는 가로줄 위치가 사람 습관에 따라 더 치우칠 수 있습니다.